Algebraische Behandlung magischer Quadrate

 

Mathematik | Informatik

 

Luciana Marconi, 2001 | Zürich, ZH

 

Ein nxn-Quadrat, in das die Zahlen 1 bis n^2 so eingefüllt werden, dass die Summen der Zahlen in jeder Zeile, Spalte und Diagonale übereinstimmen, nennt man ein magisches Quadrat n-ter Ordnung. Im Rahmen meiner Arbeit habe ich mich der Frage gewidmet, wie sich magische Quadrate algebraisch untersuchen lassen und unter welchen Bedingungen sie zustande kommen. Dank der Ringtheorie der modernen Algebra habe ich eine Formel gefunden, die die Zuordnung einer Zahl zu ihrem passenden Feld und umgekehrt beschreibt. An diese Formel habe ich neun Bedingungen gestellt. Wenn sie eingehalten werden, entsteht unabhängig vom Anfangsfeld ein magisches Quadrat. Ausserdem habe ich zwei Spezialfälle untersucht, die nicht meinen Forderungen entsprechen, jedoch trotzdem ein magisches Quadrat ergeben. Meine Resultate verifizieren und verallgemeinern einerseits bekannte Einfüllmethoden und bieten andererseits den Leserinnen und Lesern die Möglichkeit, selbst solche zu entwickeln.

Fragestellung

Magische Quadrate sind ein faszinierendes Phänomen. Unabhängig davon, ob sie in der alten chinesischen Philosophie, als Glücksbringer für Geburten oder in der Astrologie eingesetzt wurden, dachten die Leute lange, dass diese Zahlenquadrate eine magische Kraft hätten. In meiner Arbeit habe ich mich mit der Frage, wie sich magische Quadrate algebraisch untersuchen lassen und unter welchen Bedingungen sie zustande kommen, wissenschaftlich beschäftigen wollen.

Methodik

Zunächst habe ich sowohl die Zahlenquadrate n-ter Ordnung als auch die Algorithmen zum Einfüllen der Zahlen durch Variablen mathematisch beschrieben und verallgemeinert. Ausserdem habe ich mich in die Theorie der algebraischen Strukturen und Restklassen eingelesen. Diese mathematischen Grundlagen boten mir die Möglichkeit, mit Zahlen zu rechnen, die das Quadrat nie verlassen, da immer genau n Elemente vorhanden sind. Dadurch konnte ich eine Formel herleiten, die die Zuordnung einer Zahl zu ihrem passenden Feld beschreibt und umgekehrt. Durch das Auflösen verschiedener Gleichungen, ausgehend von der Zuordnungsformel, konnte ich im nächsten Schritt Bedingungen an die Variablen herleiten, sodass die Zeilen, Spalten und Diagonalen derselben Summe entsprachen. Das heisst, dass das Quadrat magisch wird.

Ergebnisse

In meiner Arbeit habe ich durch die algebraische Analyse neun Bedingungen gefunden, die bei der Wahl der Variablen berücksichtigt werden sollten, um ein magisches Quadrat ungerader Ordnung herstellen zu können. Dabei spielt es keine Rolle, in welchem Feld man beginnt. Bei genauer Betrachtung des Rösslisprungs, einer bekannten Methode, die an den Schachzug des Springers erinnert, sieht man, dass er meinen Bedingungen entspricht. Um einige solcher Anleitungen, die jedoch meinen Bedingungen nicht entsprechen, zum Beispiel die indische Regel, ebenfalls verifizieren zu können, habe ich noch zwei weitere Spezialbedingungen hergeleitet, die die Wahl des Anfangsfeldes betreffen. Ausserdem zeige ich auch, wie man selbst eigene Konstruktionsmöglichkeiten kreieren kann.

Diskussion

Die Zielsetzung habe ich mit meiner Arbeit erreicht. Mit der modernen Algebra als Grundlage ist es mir gelungen, systematisch magische Quadrate zu analysieren und zu untersuchen, unter welchen Bedingungen sie zustande kommen. Darüber hinaus war es möglich, Einfüllmethoden, die seit Jahrtausenden bekannt sind, durch meine Ergebnisse zu verifizieren und zu verallgemeinern. Ausserdem bietet meine Arbeit auch die Möglichkeit, als Laie oder Laiin eigene magische Quadrate ziemlich einfach herzustellen.

Schlussfolgerungen

Erst beim Schreiben meiner Arbeit ist mir das Ausmass des Gebietes der magischen Quadrate klargeworden. Zunächst habe ich einige Zeit investiert, mir die Grundlagen der modernen Algebra anzueignen, da sie in der Schule nicht behandelt werden. Dieser Aufwand hat sich aber sehr gelohnt, da das spätere Rechnen dadurch viel einfacher und klarer war. In der Zeit, die mir zur Verfügung stand, habe ich einige Bedingungen zur Herstellung magischer Quadrate herausgefunden sowie auch einige Spezialfälle unter die Lupe genommen. Jedoch gäbe es noch weitere Aspekte, die zu untersuchen spannend wären. Die Frage, wie sich Quadrate gerader Ordnung verhalten, oder die Anzahl der Möglichkeiten magischer Quadrate werden zum Beispiel in meiner Arbeit nicht behandelt.

 

 

Würdigung durch den Experten

Prof. Dr. Norbert Hungerbühler

Magische Quadrate tauchen in vielen Kulturkreisen auf. Das älteste Beispiel entstand in China um das Jahr 2800 v.Chr. Bekannt ist auch das magische Quadrat in Dürers Melencolia. Mathematisch sind magische Quadrate hochinteressante Objekte. Luciana Marconi hat sich in die umfangreiche Literatur eingearbeitet und sich die Theorie algebraischer Ringe angeeignet. Es ist ihr gelungen, zahlreiche bekannte Konstruktionen für magische Quadrate unter einem gemeinsamen Aspekt zu vereinen, zu verallgemeinern und sämtliche Fälle innerhalb dieser Methode mathematisch präzise und vollständig zu beschreiben.

Prädikat:

hervorragend

Sonderpreis Metrohm – Stockholm International Youth Science Seminar (SIYSS)

 

 

 

Rämibühl-Realgymnasium, Zürich
Lehrer: Prof. Dr. Balz Bürgisser