Hypervolumen mehrdimensionaler Tetraeder

 

Mathematik | Informatik

 

David Blättler, 2002 | Hergiswil, NW

 

In dieser Arbeit wird eine rekursive Formel zur Berechnung des Hypervolumens eines n-dimensionalen Tetraeders bei gegebenen Kantenlängen hergeleitet. Durch ideales Positionieren des Tetraeders in ein Koordinatensystem kann ein quadratisches Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten auf ein lineares Gleichungssystem mit n−1 Gleichungen und n−1 Unbekannten reduziert werden. Danach werden durch das Invertieren einer Dreiecksmatrix die unbekannten Koordinaten berechnet. Mit diesen Unbekannten kann man nun die letzte, wichtige Koordinate berechnen, welche zudem die Höhe des Tetraeders darstellt. Zu dieser Berechnung braucht man jedoch zuerst alle Koordinaten, welche von tieferen Dimensionen sind. Die Verankerung dieser rekursiven Formel ist das Volumen des Tetraeders der 1. Dimension, welches einfach die Länge der Strecke zwischen den ersten zwei Punkten darstellt.

Zudem wird ein Resultat auf die Frage, für welche Einheitstetraeder das Volumen rational ist, gefunden.

Fragestellung

Was hat Piero della Francesca im 15. Jahrhundert gerechnet?

Kann eine Formel zur Berechnung des Hypervolumens eines allgemeinen, n-dimensionalen Tetraeders bei gegebenen Kantenlängen mittels Gymnasialmathematik hergeleitet werden?

Für welche Dimensionen ist das Hypervolumen des Einheitstetraeders rational?

Methodik

Dadurch, dass ich die Formel der 2., 3. und 4. Dimension selbst hergeleitet habe, fand ich einen Weg, der es ermöglicht, auf jede höhere Dimension zu kommen. Diese Methode benötigt das Lösen eines Gleichungssystems mittels linearer Algebra. In diesem Bereich mussten einige neue Notationen eingeführt werden, um die Rechnung formell darstellen zu können.

Ich implementierte die Formel in Python. Dieses Programm wurde durch eine bessere Rechnungsmethode optimiert, um eine kleinere Laufzeitkomplexität zu erreichen.

Als erstes leitete ich mit der gefundenen Formel eine allgemeine Formel für höherdimensionale Einheitstetraedern her. Mittels einiger Methoden der Zahlentheorie war es möglich, auf eine Folge von Dimensionen mit rationalen Einheitstetraedern zu kommen.

Um den Ansatz zur Berechnung des Volumens des Tetraeders von Piero della Francesca zu verstehen, habe ich seine ursprünglichen Notizen und eine transkribierte Version dessen gelesen. Mit den Zahlen konnten die meisten Schritte erklärt werden. Da ich jedoch nach längerer Zeit keine Fortschritte machte, konzentrierte ich mich auf die anderen Leitfragen.

Ergebnisse

Ich fand eine rekursive Formel zur Berechnung des Hypervolumens eines allgemeinen, mehrdimensionalen Tetraeders bei gegebenen Kantenlängen.

Diese Formel wurde in einem Python Programm implementiert.

Ich leitete die Folge der Dimensionen, für die der Einheitstetraeders rational ist.

Diskussion

Nach der Herleitung meiner erarbeiteten Formel habe ich herausgefunden, dass man durch die Berechnung der „Cayley-Menger-Determinante“ das Hypervolumen eines mehrdimensionalen Tetraeders berechnen kann. Die Herleitung der beiden Formeln sind grundsätzlich verschieden.Beide Formeln haben eine Laufzeitkomplexität von O(n^3). Jedoch kann bei der neu gefundenen Formel das Invertieren einer Matrix umgangen werden, was eine Verwendung in viel höhere Dimensionen ermöglicht.

Die Folge der Dimensionen her, für welche die Einheitstetraeder rational sind, war schon bekannt. Diese habe ich erst nach meiner eigenen Herleitung entdeckt.

Ich hätte weniger lange versuchen sollen, die Berechnungen von Piero della Francesca zu verstehen.

Schlussfolgerungen

Im ersten Teil meiner Arbeit suchte ich hauptsächlich verschiedene Formeln. Ich schrieb stundenlang unzählige Gedanken auf Papier. Es hat mir grossen Spass gemacht, frei an etwas arbeiten zu können, ohne eine klare Vorlage zu haben, was zu tun ist. Manchmals war dies auch demotivierend, da ich lange nicht wusste, ob es ein Resultat zu meiner Fragestellung gab. Im zweiten Teil meiner Arbeit, welcher etwa 80% des zeitlichen Aufwandes betrug, lernte ich stundenlang die Programmiersprache LATEX. Das Lernen dieser für mich neuen Programmiersprache war aufwändig.Ich bin jedoch froh, dass ich es geschafft habe. Ich bin mit dem Resultat zufrieden. In Zukunft kann ich müheloser eine solche Datei erstellen.

Es war für mich sehr spannend, wie viele Themengebiete der Mathematik ich bei der Erarbeitung meiner Arbeit direkt anwenden konnte, so beispielsweise Geometrie, Algebra, Kombinatorik, Zahlenlehre, Ungleichungen, Analysis, Grössenvergleiche, lineare Gleichungssysteme, lineare Transformationen und numerische Mathematik.

 

 

Würdigung durch den Experten

Dr. habil. Kevin Wildrick

Mehrdimensionale Tetraeder, auch Simplices genannt, kommen häufig in digitalen Anwendungen und in den entsprechenden Bereichen der angewandten Mathematik vor. Insbesondere sind sie zentrale Figuren in der Graphentheorie und Kombinatorik sowie in der algorithmischen Topologie. Herr Blättler hat eine neue und kreative Methode zur Berechnung des Volumens eines Simplex hergeleitet und als Algorithmus implementiert. Er führte auch einen Vergleich mit der Standardmethode von Cayley und Menger durch und erklärte einige Vorteile seiner neuen Methode.

Prädikat:

sehr gut

 

 

 

Kollegium St. Fidelis, Stans
Lehrer: Werner Durandi