Mathématiques | informatique
Benoît Bonzon, 2001 | Daillens, VD
La trigonométrie est le domaine mathématique s’intéressant aux rapports entre les côtés et les angles des triangles. Malgré l’ancienneté de cette science, son nom n’est donné qu’à la fin du XVIe siècle par le mathématicien allemand Pitiscus. Par l’étude de son principal traité, «Trigonometriae sive de Dimensione Triangulorum Libri Quinque», ce travail cherche à cerner et expliquer les différences et les similitudes avec la trigonométrie moderne. On a ainsi constaté qu’en raison de l’absence des fonctions, les sinus, tangentes et sécantes ne sont compris qu’en tant que lignes inscrites dans le cercle trigonométrique. Ces lignes ne peuvent de plus se rapporter qu’aux angles inférieurs à 90 degrés, car les nombres négatifs étaient encore inconcevables au XVIe siècle. Après les avoir définies, Pitiscus explique la manière de construire les tables recensant leurs valeurs. Ces tables, rendues nécessaires par la longueur des calculs, sont établies sur la base d’un rayon de 100 000 et non sur la base du rayon unité actuel. Ce choix est dû au fait que le système décimal n’est pas encore développé. La résolution des problèmes donnés à la fin du traité montre cependant que la pratique de la trigonométrie n’a que peu changé depuis le XVIe siècle.
Problématique
Ce travail étudie le traité «Trigonometriae sive de Dimensione Triangulorum Libri Quinque», publié en 1600 par le mathématicien Pitiscus, dans le but de comprendre les particularités de la trigonométrie plane du XVIe siècle.
Méthodologie
Comme le texte original, écrit en latin, est dépourvu de notation symbolique, nous avons commencé par en rédiger une traduction française. Nous l’avons ensuite transcrite dans le système de notation moderne. Dans un dernier temps, nous avons effectué les recherches nécessaires pour replacer le traité de Pitiscus dans le contexte mathématique du XVIe siècle.
Résultats
Pitiscus définit les sinus, les tangentes et les sécantes comme des lignes inscrites dans le cercle trigonométrique. Le sinus est ainsi décrit comme «la moitié de la corde d’un arc double». La méthode de calcul de ces lignes est très longue, puisque seuls les sinus de 18, 30 et 45 degrés peuvent être déduits grâce aux caractéristiques de polygones inscrits. Les autres sinus sont obtenus par les formules du cosinus, de bissection et duplication ainsi que d’addition et de soustraction de sinus. Les tangentes et les sécantes sont quant à elles calculées à partir du sinus et du cosinus de l’angle considéré. Chaque ligne est exprimée sur la base d’un rayon de 100 000. Par exemple, le sinus de 18 degrés vaut 30 901 et non 0,30901 comme on l’écrirait aujourd’hui. Les valeurs ainsi obtenues sont recensées dans les tables situées au centre du traité. Pitiscus s’attache ensuite à la démonstration de six théorèmes servant à calculer les côtés et les angles d’un triangle. Chacun d’entre eux est relié à une ligne trigonométrique, à l’exception du dernier. Après le développement de ce sixième théorème, on y retrouve cependant la loi des cosinus. À la fin du traité, ces théorèmes sont mis en pratique dans la résolution de problèmes d’arpentage et d’altimétrie.
Discussion
Le contexte historique de la parution du traité a plusieurs impacts conséquents sur la trigonométrie. La première différence marquante se situe dans la manière même d’écrire les mathématiques, puisque les textes du XVIe siècle sont dépourvus de toute notation symbolique. On constate également l’absence des fonctions, ce qui limite la compréhension des sinus, tangentes et sécantes à des lignes inscrites. L’inconcevabilité pour l’époque des nombres négatifs explique la restriction des tables aux angles inférieurs à 90 degrés. Enfin, les calculs sont effectués sur la base d’un rayon 100 000 et non d’un rayon unité, parce que le système décimal n’est pas encore répandu. Les entiers sont alors considérés comme les chiffres significatifs et les décimales sont ignorées. Enfin, le recours à la calculatrice plutôt qu’aux tables et la compréhension des fonctions trigonométriques pour n’importe quel angle a simplifié la résolution de problèmes déjà accessibles sans ses outils.
Conclusions
Nous avons constaté ainsi plusieurs différences avec la trigonométrie actuelle, notamment la forme rhétorique du traité de Pitiscus et l’importance donnée à la construction des tables trigonométriques. Nous nous sommes cependant restreints à la trigonométrie plane présentée par Pitiscus, négligeant de ce fait la trigonométrie sphérique ainsi que les travaux de ses contemporains. Les mathématiques du XVIe siècle ayant connu des changements significatifs, nos résultats pourraient ainsi être nuancés par leur étude.
Appréciation de l’expert
Prof. Michel Deruaz
Dans son travail, Benoît Bonzon part d’un livre rédigé en 1600 en latin par Pitiscus. Une première phase conséquente de ce travail a été la traduction de l’ouvrage du latin au français mais avant de pouvoir comparer la trigonométrie de Pitiscus à celle enseignée aujourd’hui, il a fallu réécrire ces mathématiques en utilisant la syntaxe et les notations algébrique inconnues de Pitiscus et comprendre que Pisticus était limité par le fait qu’il ne possédait ni les nombres négatifs, ni les notations décimales. Ce travail qui relie les langues anciennes aux mathématiques est remarquable.
Mention:
excellent
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Gymnase Auguste Piccard, Lausanne 6 Ouchy
Enseignant: Jean-Daniel Voelke